标题数学花木兰·李约瑟难题

　　话说一八○六年拿破仑大军横扫欧洲攻进普鲁士邦，德国城市一个个望风披靡，在前线指挥的军官下令，一定要特别保护大数学家高斯教授，不准伤害。
　　高斯：请问为什么对我这样优待？
　　军官：我是受女朋友重托，万不能再犯罗马兵杀死大科学家阿基米德的错误。她是学数学和你通信的一位女士，热尔曼小姐。
　　高斯非常惊讶：法国有一个勒布朗先生和我通信讨论数学难题。哪里来的热尔曼女士呀？
　　谜底揭穿了。勒布朗先生只得承认自己就是热尔曼女士的冒名。
　　高斯知道真相以后，不但没有因受骗而生气，也不歧视妇女，反而写了一封热情洋溢的回信，表示自己的钦佩和震惊。他称赞对方的辉煌和卓越，因为对于抽象的科学尤其是神秘的数论的爱好是非常罕见的，而妇女更要遭遇比男子更多的困难，要越过种种障碍才能达到最费解的部分获得成功。毫无疑问，这需要最崇高的勇气、超常的才智和卓越的创造力。高斯还不知道这时她不过三十岁，开始通信时只有二十多岁。
　　这位数学史上的花木兰怎么会女扮男装？
　　索菲·热尔曼十三岁时正当提倡自由平等的法国大革命爆发，好在她的家庭不是贵族，她照旧自己读书，读到了一本数学史，里面说到古希腊大科学家阿基米德的死。罗马军破城时他还在沙上画几何图形研究数学问题，一心专注，不但没有回答敌兵的问题，还命令他们不许破坏沙上的图，于是遭到杀害。她想，能使人入迷到忘了死亡危险的学问她也要学，一学就迷上了。她十八岁时，一七九四年，大革命结束，政府办高等学校培养人才。她想进新办的高级综合工艺学校学数学，可是那里不收女生。后来她发现有一个学生退学离开巴黎，她就冒名顶替领讲义，交作业，化身成为勒布朗先生。过了两个多月，数学导师感觉奇怪：怎么一个数学不能及格的学生忽然变得才华横溢，答题巧妙？他便约这个学生面谈。伪装撕破了。幸亏这位导师不仅是优秀的数学家而且思想开放没有性别歧视，允许对她继续指导帮助，成为她的老师兼朋友。她的学业突飞猛进，自然从已知领域走向未知，迷上数论也自然会对当时的热门话题费马大定理的证明发生兴趣。她的研究结果是得出了一条新的途径，不是七十多年前大数学家欧拉所用的解决第一步的方法，而是崭新的思路，可说是一个跃进。她需要和一位大数学家讨论解决这个难题的突破性的进展，那只能是高斯。但她太年轻，又是女性、怕遭歧视，于是再一次化名，没想到出现喜剧式的效果，以后没过几年高斯改任天文学教授，热尔曼也就转向物理学，研究金属弹性又有贡献，一八二五年，有一老一少数学家用她的思路各自对费马大定理做了进一步的证明，欧拉证明三次方无解，他们证明五次方无解。随后又有人改进她的方法证明七次方也无解。不过这离费马的n次方还很遥远。直到二十世纪九十年代才由英国人怀尔斯应用更新思路和最新的方法证明了这个大定理，破了困惑世间智者将近三百六十年的谜。热尔曼的新思路、新方法没有直接的答题，而是全面论证题意，是第一次突破。法国科学院授予她金质奖章，她是第一位凭自己的学术成绩得奖的女性，她只活了五十多岁(一七七六——一八三一)。
　　以上说的故事的来源是《费马大定理》。这本书写得实在好，不列算式，对一般人讲数学、数论，甚至概率论的历史和原理，居然像小说一样引人入胜。它给我的不仅是知识，还有道理和思想。它也用不着我介绍、推荐。但我还是要讲书中这段故事，因为这书不但涉及两个日本数学家，还提到中国的陈景润，使我想到我的朋友诗人徐迟和他写的《哥德巴赫猜想》。诗人去世三年了，那篇文也属于过去了。我想借此书谈到那文说一点感想，也可以算是纪念亡友吧。末尾再说到所谓李约瑟难题，因为，依我看，这书在讲数学史时实际上给了一个很好的解答。
　　徐迟是诗人，爱好音乐，他是用对待艺术的态度对待科学的，没留意科学是一种特殊的艺术，甚至可以说是反艺术的艺术。因此他的那篇介绍陈景润的报告文学文章写得漂亮，起了很好很大的作用，但是描述的是数学家，不是数学。他一再引很少人能懂的数学公式，却没有解释清楚对一般人必须说明的基本概念。也许因此引发了不少人，甚至有数学界的人，慌忙去证明那个“猜想”，使数学研究所的人耗费许多时间去做本无必要的应对。这本介绍费马定理的书可不是这样。作者辛格是学科学的，在英国电视台工作，参加编导宣讲数学的费马大定理终于证明的记录片以后又演绎成为一部书，目的本为普及，所以能坚持对一般人解说高深学理的态度。由此书我才明白，徐迟用一句话含糊过去的“猜想”不是普通意义的猜测、想像，而是指尚未证明的定理，证明了以后就是定理。费马的定理实际上长期都是猜想，但因为他说自己已经证明，所以是定理，可是他的证明又说是书上的空隙太小，写不下，没有写下来，遗稿里也找不到，以致过了三百多年才有证明真正成为定理。还有，所谓证明是指数学证明，要求“绝对的证明”，严格遵循逻辑推导的证明，决不是“拿证据来”的那种证明。猜想或定理是明摆着的，有的是实例，照普通想法是完全不需要证明的，好像苹果落地不需要解释，更不需要证明其中原理、法则一样。数学家、科学家可不是这样想法。为了发现(实际上是发明)费马的“遗失的证明”，多少大数学家，从欧拉起，用尽各种方法，一直用到二十世纪五十年代两个日本人宣布他们在另一数学领域中的一个猜想所用的方法，怀尔斯才成功，同时又把数学里的两个孤岛连接起来。由于这一次的成功，六十年代出现的数学“统一化”的纲领的理想再受到注意。由此我们看到数学证明的优越性并不在那一项定理，而在证明的过程中出现的新发现。这和问答题完全不同。而且要做这工作首先要知道别人已经做了什么，怎么做的。若没有新思路、新方法(数学工具)，冒昧从事，很容易重蹈覆辙、白费力。在徐迟的那篇文里，这些必要的说明可惜都被忽略了。
　　这部《费马大定理》还使我想到所谓李约瑟难题。这位英国科学家在研究并编写中国科学技术史大著时不止一次提出问题：为什么中国科技本来胜过欧洲，却在十五世纪以后不如欧洲了？这也就是问：为什么近代科学在欧洲而没有在中国发生？许多人找原因，得不出令人心服的答案。为什么出现这样情况？我想，一是对历史问为什么难有准确答案得到大家公认，因为历史是已经过去的事实，不能重复，无法验证因果关系，只有将问题转换为怎么样才有事实依据做对比，可以说服人。二是问题是双方对比，不能只问中国，也要问欧洲。首先要问科学本身(技术需要另案办理，在精美工艺品制作方面中国从未落后)，然后再查外部条件。十五世纪是明朝，这时期中国的科学、技术，或扩大说文化，仍旧照原来的千余年不变的步伐、节奏走，没有巨大激烈的变化。不过是来了欧洲的耶稣会教士，翻译了《几何原本》，改变历法引起纠纷，最后到清初，十七世纪，康熙皇帝向外国人学代数。可是欧洲不同，十五世纪起了空前巨变，和从前大不一样了。所以问题不在中国而在欧洲。不是中国忽然走慢了，而是欧洲突变，有了大跃进的文艺复兴。《费马大定理》讲数学历史时有一句话正是解答这难题：
　　西方数学的重大转折点出现于一四五三年。
　　这一年是明朝景泰年间，十五世纪中叶，大艺术家、科学家、工程师达·芬奇出生后一年，中国没有大事，欧洲发生了什么事？先看数学，很具体。这一年，土耳其人攻占并洗劫了东罗马(拜占庭)帝国首都君士坦丁堡(伊斯坦布尔)。希腊语图书本来集中在埃及的亚历山大城。不幸这城遭遇几次大劫，“使数学倒退回巴比伦时代”。七世纪后的一千年里“西方的数学处于停滞状态”。残余手稿保存在君士坦丁堡、城陷落时学者带着残书逃向西方。和《几何原本》同样宝贵的《算术》(丢番图著)十三卷中的残本六卷包括数论部分回到欧洲，以后有了拉丁文译本，到了费马的书桌上，于是出现了费马大定理。这是十七世纪。解析几何、微积分也是在这一世纪出世。不仅数学，而且科学、文学、艺术紧接着十五世纪开始的文艺复兴都辉煌起来，工业革命、宗教改革都兴起了。原先罗马共和国继承了希腊语文化，后来西罗马帝国是拉丁语文化，现在希腊语文化回来了，还加上阿拉伯语(渗透土耳其语和波斯语)文化和希伯来语(犹太语)文化，形成了多种文化大汇合，发生了激烈的矛盾、冲突、排斥、吸收、转换、变化的情景。原来据有东欧(希腊、巴尔干半岛及其他)、西亚、北非的东罗马为土耳其人的大帝国所取代。(这个深层分裂至今还有表现，文化汇合或整合还在冲突和融合中继续。地中海区域的三洲结合处已成为全世界视野的焦点之一。)数学，也许可以说是科学的神经，显示出文化的缩微景象。这时期欧洲人普遍应用了阿拉伯人的记数法，承认了被长期否定的零(印度人发明“用零除”表示无穷大，中国佛经译零为空)、学会了阿拉伯人的代数学(欧洲语言里的这个词就是阿拉伯字)等等。(若没有这些就不会有牛顿的微积分和电子计算机了。)现在的高等数学公式里的希腊字母、拉丁字母、阿拉伯数字合用正好鲜明显现出这种文化汇合。回顾中国的明末清初有这样的景象吗？秦、汉时期奠基的汉语文化一直以独尊的姿态迈着四方步向前走，外来文化大都是“入境随俗”。从秦到清，没有全面的、只有部分的，类似欧洲的文艺复兴现象。显然，在十五世纪后的这段时期里，在文化方面，中国对欧洲是处于一对多的弱势。西欧的多种高级文化汇合产生新文化，突出表现在仿佛前锋的数学和文学艺术方面，构成所谓文艺复兴。这就是一四五三年东罗马灭亡的意义。
　　这是不是可以算做对李约瑟难题的一种解释？不是回答。那样提问是没法答的，或者是可以有种种回答的。
　　十八世纪末，十九世纪初，热尔曼女士还不得不冒名男士去上学，去和高斯通信，数学还是冷门。过了两百年，现在怎么样？据说是，从数量上讲，一九四○年到一九九○年五十年间全世界发表了约一百万篇数学论文，现在九十年代中每年发表的论文近十万篇，相当于十九世纪发表的全部论文数。从内容上讲，现在的数学不但分支繁多，出现一个又一个新领域，而且在理论上也有重大突破，预期二十一世纪将有更新发展。现代数学和古典的、近代的面貌大不相同，这和其他科学部门一样，都是一百年来由矛盾、危机产生新的思想、出现新的发展。一九○○年，德国数学家希尔伯特在国际数学大会上发表二十三个待解决的问题，涉及数学的逻辑基础，是继往开来。一九○一年，英国哲学家、数学家罗素发现根本性的悖论，产生数学基础的危机，导致逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派。欧几里得的缺陷由非欧几何的成功而暴露。一八九九年，希尔伯特大大改进了公理方法。他说：“点、线、面可以换成桌子、椅子、啤酒杯。”他的理论有深远的影响。数理逻辑的严格要求使一些一般认为不成问题的成了问题。例如：一个数，或是正数，或是负数，要不就是零。这叫三分律。数学家没提疑问。逻辑学家说，在没有证明以前，这仍有可能是错的。幸而上世纪末三分律被证明是对的。费马大定理是这样，哥德巴赫猜想也是这样。数学史上的奇峰一个接一个，直看得我眼花缭乱，心潮澎湃。
　　实际上我对数学一窍不通。这大概就是所谓外行看热闹吧。
　　一九九九年十一月
　　(《费马大定理》，辛格著，薛密译，上海译文出版社一九九八年版)